1. 최단 경로 문제
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최단 경로 문제란 두 노드를 잇는 가장 짧은 경로를 찾는 문제임
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가중치 그래프 (Weighted Graph) 에서 간선 (Edge)의 가중치 합이 최소가 되도록 하는 경로를 찾는 것이 목적
최단 경로 문제 종류
1.
단일 출발 및 단일 도착 (single-source and single-destination shortest path problem) 최단 경로 문제
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그래프 내의 특정 노드 u 에서 출발, 또다른 특정 노드 v 에 도착하는 가장 짧은 경로를 찾는 문제
1.
단일 출발 (single-source shortest path problem) 최단 경로 문제
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그래프 내의 특정 노드 u 와 그래프 내 다른 모든 노드 각각의 가장 짧은 경로를 찾는 문제
따지고 보면 굉장히 헷깔릴 수 있으므로 명확히 하자면,
예를 들어 A, B, C, D 라는 노드를 가진 그래프에서 특정 노드를 A 라고 한다면,
A 외 모든 노드인 B, C, D 각 노드와 A 간에 (즉, A - B, A - C, A - D) 각각 가장 짧은 경로를 찾는 문제를 의미함
1.
전체 쌍(all-pair) 최단 경로: 그래프 내의 모든 노드 쌍 (u, v) 에 대한 최단 경로를 찾는 문제
2. 최단 경로 알고리즘 - 다익스트라 알고리즘
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다익스트라 알고리즘은 위의 최단 경로 문제 종류 중, 2번에 해당
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하나의 정점에서 다른 모든 정점 간의 각각 가장 짧은 거리 를 구하는 문제
다익스트라 알고리즘 로직
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첫 정점을 기준으로 연결되어 있는 정점들을 추가해 가며, 최단 거리를 갱신하는 기법
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다익스트라 알고리즘은 너비우선탐색(BFS)와 유사
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첫 정점부터 각 노드간의 거리를 저장하는 배열을 만든 후, 첫 정점의 인접 노드 간의 거리부터 먼저 계산하면서, 첫 정점부터 해당 노드간의 가장 짧은 거리를 해당 배열에 업데이트
다익스트라 알고리즘의 다양한 변형 로직이 있지만, 가장 개선된 우선순위 큐를 사용하는 방식에 집중해서 설명하기로 함
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우선순위 큐를 활용한 다익스트라 알고리즘
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우선순위 큐는 MinHeap 방식을 활용해서, 현재 가장 짧은 거리를 가진 노드 정보를 먼저 꺼내게 됨
1.
첫 정점을 기준으로 배열을 선언하여 첫 정점에서 각 정점까지의 거리를 저장
•
초기에는 첫 정점의 거리는 0, 나머지는 무한대로 저장함 (inf 라고 표현함)
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우선순위 큐에 (첫 정점, 거리 0) 만 먼저 넣음
2.
우선순위 큐에서 노드를 꺼냄
•
처음에는 첫 정점만 저장되어 있으므로, 첫 정점이 꺼내짐
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첫 정점에 인접한 노드들 각각에 대해, 첫 정점에서 각 노드로 가는 거리와 현재 배열에 저장되어 있는 첫 정점에서 각 정점까지의 거리를 비교한다.
•
배열에 저장되어 있는 거리보다, 첫 정점에서 해당 노드로 가는 거리가 더 짧을 경우, 배열에 해당 노드의 거리를 업데이트한다.
•
배열에 해당 노드의 거리가 업데이트된 경우, 우선순위 큐에 넣는다.
◦
결과적으로 너비 우선 탐색 방식과 유사하게, 첫 정점에 인접한 노드들을 순차적으로 방문하게 됨
◦
만약 배열에 기록된 현재까지 발견된 가장 짧은 거리보다, 더 긴 거리(루트)를 가진 (노드, 거리)의 경우에는 해당 노드와 인접한 노드간의 거리 계산을 하지 않음
3.
2번의 과정을 우선순위 큐에 꺼낼 노드가 없을 때까지 반복한다.
1단계: 초기화
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첫 정점을 기준으로 배열을 선언하여 첫 정점에서 각 정점까지의 거리를 저장
◦
초기에는 첫 정점의 거리는 0, 나머지는 무한대로 저장함 (inf 라고 표현함)
◦
우선순위 큐에 (첫 정점, 거리 0) 만 먼저 넣음
2단계: 우선순위 큐에서 추출한 (A, 0) [노드, 첫 노드와의 거리] 를 기반으로 인접한 노드와의 거리 계산
•
우선순위 큐에서 노드를 꺼냄
◦
처음에는 첫 정점만 저장되어 있으므로, 첫 정점이 꺼내짐
◦
첫 정점에 인접한 노드들 각각에 대해, 첫 정점에서 각 노드로 가는 거리와 현재 배열에 저장되어 있는 첫 정점에서 각 정점까지의 거리를 비교한다.
◦
배열에 저장되어 있는 거리보다, 첫 정점에서 해당 노드로 가는 거리가 더 짧을 경우, 배열에 해당 노드의 거리를 업데이트한다.
◦
배열에 해당 노드의 거리가 업데이트된 경우, 우선순위 큐에 넣는다.
▪
결과적으로 너비 우선 탐색 방식과 유사하게, 첫 정점에 인접한 노드들을 순차적으로 방문하게 됨
▪
만약 배열에 기록된 현재까지 발견된 가장 짧은 거리보다, 더 긴 거리(루트)를 가진 (노드, 거리)의 경우에는 해당 노드와 인접한 노드간의 거리 계산을 하지 않음
이전 표에서 보듯이, 첫 정점 이외에 모두 inf 였었으므로, 첫 정점에 인접한 노드들은 모두 우선순위 큐에 들어가고, 첫 정점과 인접한 노드간의 거리가 배열에 업데이트됨
3단계: 우선순위 큐에서 (C, 1) [노드, 첫 노드와의 거리] 를 기반으로 인접한 노드와의 거리 계산
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우선순위 큐가 MinHeap(최소 힙) 방식이므로, 위 표에서 넣어진 (C, 1), (D, 2), (B, 8) 중 (C, 1) 이 먼저 추출됨 (pop)
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위 표에서 보듯이 1단계까지의 A - B 최단 거리는 8 인 상황임
◦
A - C 까지의 거리는 1, C 에 인접한 B, D에서 C - B는 5, 즉 A - C - B 는 1 + 5 = 6 이므로, A - B 최단 거리 8보다 더 작은 거리를 발견, 이를 배열에 업데이트
▪
배열에 업데이트했으므로 B, 6 (즉 A에서 B까지의 현재까지 발견한 최단 거리) 값이 우선순위 큐에 넣어짐
◦
C - D 의 거리는 2, 즉 A - C - D 는 1 + 2 = 3 이므로, A - D의 현재 최단 거리인 2 보다 긴 거리, 그래서 D 의 거리는 업데이트되지 않음
4단계: 우선순위 큐에서 (D, 2) [노드, 첫 노드와의 거리] 를 기반으로 인접한 노드와의 거리 계산
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지금까지 접근하지 못했던 E와 F 거리가 계산됨
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A - D 까지의 거리인 2 에 D - E 가 3 이므로 이를 더해서 E, 5
◦
A - D 까지의 거리인 2 에 D - F 가 5 이므로 이를 더해서 F, 7
5단계: 우선순위 큐에서 (E, 5) [노드, 첫 노드와의 거리] 를 기반으로 인접한 노드와의 거리 계산
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A - E 거리가 5인 상태에서, E에 인접한 F를 가는 거리는 1, 즉 A - E - F 는 5 + 1 = 6, 현재 배열에 A - F 최단거리가 7로 기록되어 있으므로, F, 6 으로 업데이트
◦
우선순위 큐에 F, 6 추가
6단계: 우선순위 큐에서 (B, 6), (F, 6) 를 순차적으로 추출해 각 노드 기반으로 인접한 노드와의 거리 계산
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예제의 방향 그래프에서 B 노드는 다른 노드로 가는 루트가 없음
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F 노드는 A 노드로 가는 루트가 있으나, 현재 A - A 가 0 인 반면에 A - F - A 는 6 + 5 = 11, 즉 더 긴 거리이므로 업데이트되지 않음
6단계: 우선순위 큐에서 (F, 7), (B, 8) 를 순차적으로 추출해 각 노드 기반으로 인접한 노드와의 거리 계산
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A - F 로 가는 하나의 루트의 거리가 7 인 상황이나, 배열에서 이미 A - F 로 가는 현재의 최단 거리가 6인 루트의 값이 있는 상황이므로,
더 긴거리인 F, 7 루트 기반 인접 노드까지의 거리는 계산할 필요가 없음, 그래서 계산없이 스킵함
◦
계산하더라도 A - F 거리가 6인 루트보다 무조건 더 긴거리가 나올 수 밖에 없음
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B, 8 도 현재 A - B 거리가 6이므로, 인접 노드 거리 계산이 필요 없음.
우선순위 큐를 사용하면 불필요한 계산 과정을 줄일 수 있음
우선순위 큐 사용 장점
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지금까지 발견된 가장 짧은 거리의 노드에 대해서 먼저 계산
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더 긴 거리로 계산된 루트에 대해서는 계산을 스킵할 수 있음
3.3. 구현
import heapq
def dijkstra(graph, start):
distances = {node: float('inf') for node in graph} # dictionary 사용법
distances[start] = 0
queue = []
heapq.heappush(queue, [distances[start], start])
while queue:
current_distance, current_node = heapq.heappop(queue)
if distances[current_node] < current_distance:
continue
for adjacent, weight in graph[current_node].items():
distance = current_distance + weight
if distance < distances[adjacent]:
distances[adjacent] = distance
heapq.heappush(queue, [distance, adjacent])
return distances
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